Любой многоугольник можно разделить на выпуклые многоугольники: для этого достаточно продолжить все его стороны и разрезать фигуру вдоль полученных прямых (рис.1а). Разбить многоугольник на выпуклые части можно и так, чтобы вершины всех кусков совпадали с его вершинами. В свою очередь, из выпуклого многоугольника ничего не стоит сделать треугольники - если, например, провести все диагонали из одной вершины (рис.1б). Следовательно, любой многоугольник, в конце концов, можно разбить на треугольники, что оказывается полезным при выводе различных свойств многоугольников. Наиболее известное из этих свойств- теорема о сумме углов многоугольника.
На рис. 1,б выпуклый n-угольник разбит на (n-2) треугольника. Сумма их углов равна сумме углов n-угольника. Но, как известно, сумма углов каждого треугольника составляет 180°. Таким образом, сумма углов любого выпуклого n-угольника равна (n - 2)*180°, или, в радианной мере, (n -2)*пи. Примечательно, что сумма углов не зависит от формы многоугольника; существенна лишь число его сторон. Возможно, причина этого станет понятнее, если рассмотреть внешние углы n-угольника, т.е. углы, смежные с внутренними.
Обойдем многоугольник вдоль границы, начав с какой-нибудь точки на его стороне и вернувшись в ту же точку. Пока мы идем по стороне, направление нашего движения не меняется, а в каждой вершине мы поворачиваем на угол, равный внешнему углу в этой вершине (рис. 2). В конце пути мы движемся в том же направлении, в котором стартовали. Таким образом, за время обхода направление нашего движения совершает один полный оборот, а это значит, что сумма углов всех отдельных поворотов в вершинах, т.е. сумма внешних углов многоугольника, равна 2*пи и не зависит не только от формы многоугольника, но и от числа его сторон!
Конечно, тот же результат следует из теоремы о сумме углов. Действительно, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине равна пи. Значит, сложив все такие суммы в n- угольнике, мы получим nпи, тогда на внешние углы будет приходиться nпи-(n-2)*пи=2пи.
Та же формула для суммы углов справедлива и для невыпуклых многоугольников (без самопересечения). Чтобы доказать, это нужно разбить диагоналями произвольный n-угольник на выпуклые многоугольники.