Наибольшее значение имеет случай, когда прямоугольное отверстие имеет незначительную ширину и бесконечную длину, т. е. является щелью. Практически, конечно, достаточно, чтобы ее длина была значительно больше ширины. Так, при ширине в 0,01—0,02 мм длина щели в несколько миллиметров может считаться бесконечной. В этом случае изображение точки растянется в полоску с максимумами и минимумами в направлении, перпендикулярном к щели, ибо свет дифрагирует вправо и влево от щели.

Пусть волна падает нормально к плоскости щели. Определим, какая будет амплитуда результирующей волны, распространяющейся под углом j к щели.

Для этого разобьем площадь щели на ряд узких параллельных полосок равной ширины dx. Каждая из этих полосок по принципу Гюйгенса может рассматриваться как источник вторичных волн, причем фазы всех этих волн и амплитуды одинаковы.

Для отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом j_c первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от различных элементов волнового фронта до пункта наблюдения Bj (см. рис.1).

Проведем плоскость FD, перпендикулярную к направлению дифрагировавших волн. Распределение фаз, которое будет иметь место на этой плоскости, определяет соотношение фаз элементарных волн, собирающихся в точке Bj , ибо линза не вносит дополнительной разности фаз. Таким образом, достаточно определить разность хода, возникающую на пути от плоскости FE до плоскости FD. Из рис. 1 видно, что разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны при точке F (край щели) и от какой-либо точки N (лежащей на расстоянии х от края щели), есть NP=xsin j. Амплитуда волны, обусловленная одним элементом, фронта волны пропорциональна его ширине dx, т. е. равна. Световое возмущение в точке P плоскости FD, созданное одним элементом, запишется следующим образом:

где Aj - амплитуда световой волны, идущей в направлении j,

Результирующее возмущение в точке Bj определится как сумма возмущений от всех участков щели, т. е. выразится интегралом по всей ширине щели (по всем значениям х от нуля до b)

(1)

Выражение (1) показывает, что вдоль экрана (с изменением j) освещенность меняется, проходя через максимумы и минимумы.

Aj обращается в нуль для углов j, удовлетворяющих условию:

При определенных промежуточных значениях угла j амплитуда достигает максимальных и минимальных значений. Наибольший максимум имеет место, когда

 , т. е. j =0; при этом Aj =А₀.

где I₀ =A₀² - есть интенсивность света, идущего от щели шириной b в направлении первичного пучка. Как видно из рис. 2, величина вторичных максимумов быстро убывает.

Из установленных в настоящем параграфе формул ясно, что положение минимумов и максимумов зависит от длины волны l . Поэтому дифракционная картина имеет описанный вид лишь для вполне монохроматического света. В случае белого света мы имеем совокупность соответствующих картин для разных цветов (сдвинутых одна относительно другой в соответствии с различием в l ).

При разборе задачи о дифракции на щели мы допускали, что по всей ширине щели амплитуда и фаза вторичных волн одинаковы. Другими словами, мы пренебрегали искажающим влиянием краев щели, что допустимо, если ширина щели b значительно больше длины волны b>>l .

Как показывает формула (2), расстояние минимумов от центра картины возрастает с уменьшением b. Таким образом, с уменьшением ширины щели центральная светлая полоса расширяется, захватывая все большую и большую область экрана.

Если b =l , то j ₁= 90°, т. е. первый минимум соответствует углу 90°; следовательно, он сдвинут на бесконечно удаленный край экрана. Освещенность экрана падает от центра к краям постепенно, асимптотически приближаясь к нулю; ширина центральной светлой полосы возрастает беспредельно. Таким образом, с уменьшением b освещенность стремится стать равномерной по всему экрану -(рис. 3 Кривая 1 – узкая щель, кривая 2 – широкая щель.).

Наоборот, при увеличении ширины щели положение первых минимумов придвигается все ближе и ближе к центру картины, так что центральный максимум становится все резче и резче. При очень широкой щели (по сравнению с l ) мы получаем в центре резкое изображение линейного источника.

Мы рассмотрели случай, в котором дифрагирующие лучи шли параллельным пучком и собирались на экране с помощью линзы. В моей работе в качестве источника света использовался полупроводниковый лазер с длиною волны излучения около 720 нм. При этом собирающая линза не использовалась. Не было никакой уверенности в том, что вышеизложенная теория будет верно описывать и этот случай. Для того, чтобы результаты эксперимента можно было бы достоверно оценивать, была разработана и написана программа на Паскале, моделирующая дифракцию света на щели.

Работа программы заключалась в следующем. Последовательно перебирались все точки экрана от M до N (см. рис. 4). В каждой точке (например B) производилось суммирование амплитуд пришедших волн. При этом учитывались для каждого элемента щели:

а) фаза пришедшей волны;

б) амплитуда, зависящая от угла дифракции j и расстояния L до точки наблюдения.

  

Назад