В общем случае позиционной системе с основанием s любое число x может быть представлено в виде полинома от основания s:
Принято пользоваться эквивалентной, но более простой формой представления числа в виде последовательности соответствующих цифр:
В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной. Позиции цифр, отсчитываемых от запятой, называют разрядами. В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы.
В электронных вычислительных машинах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и некоторые другие. Наибольшее распространение в вычислительных машинах имеет двоичная система счисления. В этой системе используются только две цифры: 0 (нуль) и 1 (единица). Двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) количества разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы позволяет уменьшить общее количество аппаратуры и создаёт большие удобства для проектирования цифровых вычислительных машин, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Такими элементами, например, являются реле, триггерные схемы и т.п. Для представления десятичного разряда потребовалось бы четыре таких элемента.
Помимо двоичной системы счисления в вычислительной технике используется также другие системы с недесятичным основанием – восьмеричная и шестнадцатеричная, имеющие основанием соответственно числа 8 и 16.
В восьмеричной системе употребляются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
В шестнадцатеричной системе для изображения чисел употребляется 16 чисел от 0 до 15. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших девяти. Первые десять цифр этой системы обозначают цифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F.
Правила преобразования в восьмеричных и
шестнадцатеричных чисел в двоичные исключительно просты, поскольку основания
этих систем есть целые степени числа два: 
, 
.
Для перевода восьмеричного числа в двоичную
форму достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим
трёхразрядным двоичным числом. Таким же образом для перехода от шестнадцатеричной
системы к двоичной каждая цифра заменяется соответствующим четырёхразрядным
двоичным числом(см таблицу). Например, восьмеричное число 306,4 в двоичной
форме записи имеет вид:
Для перехода от двоичной системы
счисления к восьмеричной (или шестнадцатеричной) системе поступают следующим
образом: двигаясь от запятой влево
и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда,
дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем
каждую группу из трёх (четырёх) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной
(шестнадцатеричной) цифрой (см таблицу).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|