Значительные открытия

Самые общие свойства фигур, которые многократно используются в рассуждениях и не выводятся из более глубоких фактов - эти свойства Евклид назвал аксиомами. Например: "Все прямые углы равны между собой", или "Целое больше части".

 Кроме аксиом, постулаты: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций. Например: "Через две точки проходит лишь одна прямая", или "Через точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую". Это последнее утверждение называют пятым постулатом Евклида.

 Конечно, представить всю геометрию в виде идеального здания из определений, аксиом, постулатов и теорем Евклид не сумел. Ведь каждое необходимое утверждение кому-то покажется скучной мелочью, а каждое интересное утверждение у кого-нибудь вызовет возражение. И это хорошо: в науке важнее всего те утверждения, которые сами интересны и не очевидны, и их отрицания обладают тем же свойством. Таков оказался пятый постулат Евклида о параллельных прямых на плоскости. Он имеет два возможных отрицания. Во-первых, можно предположить, что через точку вне прямой не проходит НИ ОДНА прямая, не пересекающая данную прямую; то есть, что параллельных прямых на плоскости вовсе нет! Во-вторых, можно предположить, что таких прямых через одну точку проходит НЕСКОЛЬКО; может быть, их бесконечно много. Евклид не рассматривал такие возможности. Он старался сжато и полно описать единственно возможный ("плоский") геометрический мир. Только в 19 веке другие математики - Гаусс и Лобачевский, Больяи и Риман - задумались о возможном существовании многих разных геометрических миров. Тогда выяснилось, что новые миры отличаются от старого евклидова мира всего одной-двумя аксиомами. Достаточно заменить пятый постулат Евклида одним из его возможных отрицаний - и мы попадаем в иной мир, носящий имя Лобачевского или Римана.

В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно. Но правда ли, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел единственным способом? Доказать это Евклид не сумел - хотя располагал всеми необходимыми для этого средствами.