Начнем с простого примера.

Пусть диаметр болта, измереный штангенциркулем, оказался равным 14 мм. Можно ли быть уверенным, что он пройдет в “идеальное”отверстие того же диаметра? Если бы этот вопрос был поставлен в чисто ”математическом“ виде, то ответ был бы утвердительным: пройдет “в притирочку”. На практике может получится иначе. Диаметр равный 14 мм был получен с помощью реального прибора у которого есть погрешности. Так что было бы правильней говорить, что мы получили приближенное значение диаметра - . Каково же его истинное значение? На этот вопрос ни один человек не сможет дать ответ. Максимально что можно сделать в этой ситуации, это указать границы около приближенного результата, внутри которых находится истинное значение диаметра. Эта граница называется границей абсолютной погрешности и обозначается (её так же часто называют просто абсолютной погрешностью). Так что в нашем примере болт может как пройти в отверстие, так и не пройти в него: все зависит от того, в каком месте интервала находится истинное значение диаметра. На рисунке 1 показан случай, когда болт в отверстие не пройдет.

Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует результат измерения. Пусть, например, в результате измерений установлено, что длина стола равна см, а толщина его крышки см. Хотя граница абсолютной погрешности измерений в этих двух случаях одинакова ясно, что качество измерений в первом случае выше.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью , равной отношению абсолютной погрешности к значению величины , получаемой в результате измерения: .

Это такое измерение, в котором результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы (или показаний цифрового прибора). В нашем первом примере речь шла как раз о таком измерении.

Если вы умеете правильно пользоваться измерительным прибором, то погрешность прямого измерения (обозначается значком ) зависит только от его качества и складывается из инструментальной погрешности прибора - и погрешности отсчета -. Таким образом =+

Инструментальная погрешность определяется на заводе-изготовителе. Например, динамометр для лабораторных работ имеет погрешность = 0,05 H, амперметр и вольтметр для лабораторных работ - =0,05 А и = 0,15 В соответственно. Абсолютные инструментальные погрешности большинства приборов, используемых для проведения практических и лабораторных работ приведены в таблице 1.

Погрешность отсчета связана с тем, что указатель прибора не всегда точно совпадает с делениями шкалы (например, стрелка на шкале вольтметра). В этом случае погрешность отсчета не превосходит половины цены деления шкалы. Т.е. принимают , где с - цена деления шкалы:.

Обе составляющее погрешности прямого измерения следует учитывать лишь в том случае, если они близки друг к другу. Любым из этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит 1/3-1/4 от другого. В этом состоит так называемое правило "ничтожных погрешностей".

Каждый электроизмерительный прибор в зависимости от качества изготовления имеет определенный класс точности. Значение класса точности наносится на его шкалу (изображается числом в кружке), который позволяет определить погрешность этого прибора. Пусть, класс точности миллиамперметра 4, а предел измерения этим прибором равен 250 мА; тогда абсолютная инструментальная погрешность прибора составляет 4% от 250 мА, т.е. =10 мА.

Погрешности при взвешивании возникают не только из-за погрешностей гирь, но еще и потому, что точность показания весов зависит от нагрузки на них. График зависимости погрешности весов ВТ2-200 от нагрузки приведен на рисунке 2, а погрешность гирь набора Г4-210 для лабораторных работ приведены в таблице 2.

1) погрешность весов ;

2) погрешность гирь и разновесов ;

3) погрешность подбора гирь .

Погрешность подбора гирь аналогична погрешности отсчета и равна половине массы наименьшей гири, лежащей на весах (либо выводящей ее из равновесия). Таким образом при прямом измерении массы на весах: =++.

Например, тело уравновешено на весах при помощи гирь, номинальные (указанные на гирях) значения которых равны 50 г, 20 г, 100 мг и выводятся из равновесия разновесом в 10 мг. Определим абсолютную погрешность взвешивания. По графику зависимости погрешности весов от нагрузки найдем погрешность весов . Она равна примерно 25 мг (для груза массой ~70 г). Погрешность гирь найдем по таблице 2.

=30+20+1=51 мг. Погрешность подбора будет равна =10 мг/2=5 мг.

Таким образом граница погрешности при взвешивании будет равна: =25+51+5=81 мг. Следовательно m = 70,100,081 г.

Числовые значения всех физических величин прямо или косвенно связаны с измерениями и потому являются приближенными. Для краткости приближенные значения физических величин будем называть приближенными числами.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшеных цифр.

Примеры.

1. Плотность кислорода 0,00143 г/см³. В этом числе три значащих цифры.

3. Удельное сопротивление цинка . Здесь последний нуль значащий, в числе две значащие цифры. (Нуль, записанный в конце десятичной дроби, - всегда значащая цифра, иначе этон нуль просто не писали бы.)

Приближенные числа принято записывать в стандартной форме: , где 1<а<10, n - положительное или отрицательное целое число, называемое порядком числа . Значащих цифр в множителе а пишут столько, сколько их в самом числе .

Примеры.

1. Плотность кислорода 0,00143 г/см³ = г/см³ .

2. Скорость света в вакууме 300000 км/с = км/с (число 300000 записано с точностью до тысяч.)

Значащие цифры приближенного числа могут быть верными и неопределенными (сомнительными).

Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда, то все значащие цифры приближенного числа называются верными.

Пример.

Плотность ртути равна 13,5955 г/см³ . Округлим это значение до сотых: 13,60 г/см³.

Пример.

При измерении обьема жидкости мензуркой получен результат: 1405 мл. Цифра 0 в числе 140 не является верной, так как абсолютная погрешность больше единицы последнего разряда.

Пример.

Таким образом, из пяти цифр, выданных калькулятором, три оказались неопределенными. Не старайтесь щегольнуть точностью своего калькулятора, выписывая в ответе много цифр, большая часть из которых сомнительна. Какова бы ни была точность калькулятора, он не может превратить неопределенные цифры в верные!

Примеры.

1) 5,14+12,1+6,353 = 23,593 » 23,6 (знак"»" применяется при округлении).

2) 405+0,43 = 405,43»405

3) 430+1200+60+1640==»

4) 2,53-1,5 = 1,03 » 1,0

Примеры.

1) .

2) .

3) 54,8 : 15 = 3,65 » 3,7

Примеры.

1) .

2) .

В большинстве случаев измерения являются косвенными, когда результат определяется на основе расчетов. Так, например, определяется электрическое сопротивление , импульс тела , скорость при равноускоренном движении и т.п.

Предположим, что нам необходимо определить периметр и площадь прямоугольника. Произведя измерения линейкой получим длины сторон. Пусть длина одной стороны равна a, другой - b. Тогда периметр р прямоугольника будет равен p=2(a+b), а его площадь s=ab. Можно ли утверждать, что погрешность расчета периметра прямоугольника и его площади будут одинаковыми? Врядли, ведь формулы, которыми пользовались при расчете разные: при нахождении периметра величины, полученные при измерении складывали, а при подсчете площади - перемножали. Так что нам при расчете погрешности придется учитывать, как выглядит формула, по которой производился расчет искомой физической величины.

Абсолютная погрешность при косвенных измерениях расчитывается иначе, чем при прямых измерениях. Для вычисления абсолютной погрешности воспользуемся тем, что . Откуда . Из сказанного выше следует, что способ вычисление относительной погрешности должен зависить от формулы (вида функции), по которой производился расчет искомой физической величины. В теории погрешностей показывается как это можно сделать в общем виде. Мы же воспользуемся набором готовых формул для вычисления относительной погрешности.

Пусть например, некоторая физическая величина х рассчитывается по формуле: . Значения k, m и p найдены прямыми измерениями во время проведения эксперимента. Их абсолютные погрешности соответственно равны . Подставляя полученные значения в формулу, получим приближенное значение . Далее следует рассчитать относительную погрешность результата - . Это можно сделать, воспользовавшись соответствующей формулой из таблицы 3.

На первый взгляд кажется, что такой формулы в таблице нет. При более внимательном анализе ситуации заметим, что в нашем случае искомое значение находится как отношение двух величин. Тогда можно воспользоваться формулой . В нашем случае , а B = p. Из таблицы имеем для отношения : или

В той же таблицы найдем как рассчитывать относительную погрешность суммы: . Следовательно . Теперь можно найти значение граници абсолютной погрешнисти . Окончательно имеем: .

В этом случае за приближенное значение измеряемой величины берут среднее арифметическое.

Но и среднее арифметическое, вообще говоря, не совпадает с истинным значением измеряемой величины. Как же найти границу интервала, в котором находится истинное значение? Эта граница называется границей случайной погрешности - . В теории расчета погрешностей показывается, что , где - значения физической величины в 1, 2,...n опыте

Когда мы находим среднее арифметическое значение величины по результатам серии опытов, то естественно считать, что оно имеет меньшее отклонение от истинного значения, чем каждый опыт серии. Другими словами, погрешность среднего меньше, чем погрешность каждого опыта серии. В теории погрешностей доказывается, что граница погрешности среднего значения равна:

. Окончательно имеем:

.

Очевидно, что число опытов имеет смысл выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего сравнялась с погрешностью прибора либо стала меньше ее. Дальнейшее увеличение числа измерений теряет смысл, так как не увеличит точность получаемого результата: , где - граница погрешности измерительного прибора.

Если нет возможности по каким-либо причинам провести достаточное количество опытов (т.е. не удалось сделать погрешность среднего равной погрешности приборов), то результат должен быть взят в виде: , где - граница случайной погрешности среднего.

При пользовании таблицами следует иметь ввиду, что погрешности приведенных значений имеют границу, равную в следующем разряде за последней значащей цифрой. Например, если в таблице указано: кг/м, то на самом деле кг/м.

При построении графиков следует иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами и ( рис. 9.2. ). Поэтому при построении графиков необходимо проводить плавную линию так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от кривой.

Погрешность измерения следует учитывать, если вы хотите убедиться в достоверности измерения физической величины, действительное значение которой известно. В этом случае необходимо убедиться в принадлежности известного значения физической величины интервалу (рис..).

Если проверяется закон А=В, то проверка достоверна, если интервалы имеют общие точки (рис.9.4), т.е. частично или полностью перекрываются.

После того, как вычислена граница абсолютной погрешности, ее значение обычно округляется до одной значащей цифры. После этого и результат измерения записывается с числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в абсолютной погрешности. Например, запись м/с плоха. Из такой записи следует, что мы как то сумели рассчитать численное значение скорости в тысячу раз точнее, чем позволяли нам приборы. ( Действительно, ответ дан с точностью до 5-го знака после запятой, а погрешность имеется уже во втором знаке после запятой, что полностью дискредитирует как сам результат, так и человека его записавшего.) В данном примере следует округлить значение абсолютной погрешности до одной значащей цифры: = 0,03 м/с и оставить в приближенном значении скорости два знака после запятой (т.е. столько же, сколько и в абсолютной погрешности): v = 0,56 м/с. Правильная запись ответа должна выглядеть так: и м/с.