Вначале рассмотрим преломление света на стеклянной сферической поверхности радиуса R. Пусть малый предмет (источник S) находится в воздухе на расстоянии d от выпуклой поверхности стекла (рис. 1). Точка О является центром сферы. Из соображений симметрии очевидно, что изображение будет лежать на прямой SO, которая играет в данном случае роль главной оптической оси.

Докажем, что лучи, падающие из точки S на сферическую поверхность под малыми углами к прямой SD, пересекаются после преломления в одной точке. Для этого рассмотрим преломление произвольного луча SB, составляющего с осью SO малый угол (рис. 2). Перпендикуляром к поверхности в точке В служит радиус 0В, составляющий с осью угол , — угол падения, а — угол преломления. Преломленный луч BS₁ пересекается с осью в точке S₁. Луч BS₁ составляет с осью угол .

Найдем соотношение между расстояниями SP = d, S₁P = f и ОP = R. Учтем, что при малом угле отрезок PD также мал и им можно пренебречь по сравнению с расстояниями SP, S₁P и ОР. Тогда dSD, f S₁D и ROD. Из треугольников SBD, S₁BD и OBD можно получить приближенные равенства:

Если угол мал, то малы также углы и и тангенсы можно заменить значениями самих углов:

Чтобы найти соотношение между d, f и R, выясним, как связаны между собой углы . Заметим, что угол является внешним углом треугольника SBO. Поэтому

Угол — внешний угол треугольника obs₁. Следовательно,

Так как углы и малы, то их синусы заменим самими углами:

Исключая из уравнений (2), (3) и (4) и , получаем:

Подставляя сюда вместо и выражения (1), приходим к соотношению

или, разделив на h,

В это соотношение не входит величина h; существенно лишь, чтобы h было мало. Это значит, что все приосевые лучи пересекаются после преломления в одной точке .S₁, которая является изображением источника S.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели случай, когда изображение получалось после однократного преломления лучей на сферической поверхности. Чаще, однако, приходится иметь дело с прозрачными телами, ограниченными также и с другой стороны.

Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы (рис. 3).

Определим положение изображения по известному положению источника. Лучи, исходящие из точечного источника S, соберутся после прохождения через линзу в одной точке, если все эти лучи являются приосевыми. Поэтому источник должен быть расположен недалеко от оси.

Ход лучей в такой линзе легко понять из рисунка 4. Преломившись на передней поверхности линзы, лучи образуют изображение в точке S₁ на расстоянии f₁ от поверхности. Это расстояние можно найти, используя формулу (5):

где R₁ — радиус кривизны передней сферической поверхности линзы.

Пройдя точку S₁, лучи расходятся, попадая на вторую поверхность. Точка S₁ служит, таким образом, источником, расположенным на расстоянии d₁ от поверхности.

где — расстояние между сферическими поверхностями, или толщина линзы. Вторая поверхность дает изображение получившегося промежуточного “источника” S₁ в точке S₂ на расстоянии f от задней поверхности линзы. Положение этого изображения можно найти по формуле (4), используя свойство обратимости лучей:

где R₂ — радиус кривизны задней сферической поверхности линзы. Система уравнений (5), (6) и (7) позволяет найти f по известному d и величинам, характеризующим линзу, - n, , R₁ и R₂.

Большой интерес представляет простой частный случай, когда толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны поверхностей и расстоянием предмета от линзы. Такую линзу называют тонкой линзой. В дальнейшем, говоря о линзе, мы всегда будем подразумевать тонкую линзу. Именно для тонкой линзы найдем связь между f и d. Приняв = 0 и исключив из равенств (5), (6.), и(7) величины f₁ и d₁, приходим к равенству

Это — формула тонкой линзы. Она выведена нами для случая, когда прозрачное тело ограничено двумя выпуклыми поверхностями. Такую линзу называют двояковыпуклой.

Но такие же рассуждения можно повторить и для плоских или вогнутых поверхностей. Плоская поверхность соответствует бесконечному радиусу кривизны, так что один из членов в формуле пропадает. В случае вогнутой поверхности соответствующий член — входит в формулу (8) со знаком минус.

Знак правой части определяет оптические свойства линзы. При положительной правой части линза является собирающей, при отрицательной — рассеивающей. У двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воздухе, n-1>0 и >0.

У двояковыпуклой воздушной линзы в стекле n –1 < 0, а > 0. Это – рассеивающая линза. Она отклоняет параллельный пучок от оси — “рассеивает” его.

Фокусное расстояние тонкой линзы.

Из формулы (8) следует, что при удалении источника от линзы изображение приближается к линзе. Когда же источник удалится настолько, что лучи от него, падающие на линзу, можно будет считать параллельными (), изображение окажется в точке, расстояние до которой определится из уравнения

Эту точку называют фокусом линзы и обозначают буквой F (рис. 6). Расстояние фокуса от линзы называют фокусным расстоянием и также обозначают буквой F. Таким образом,

(9)

Отрицательное значение F (рассеивающая линза) означает, что фокус мнимый, т.е. что лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления пойдут расходящимся пучком. В мнимом фокусе сойдутся не сами преломленные лучи, а их продолжения (рис. 7).

Лучи, параллельные главной оптической оси, можно направить на линзу и с другой стороны. Это позволит найти второй фокус линзы. Он расположен на главной оптической оси с другой стороны линзы на том же расстоянии F. Это относится и к собирающей и к рассеивающей линзам.

называют оптической силой линзы. Ее обозначают буквой D:

Оптическую силу линз выражают, как и оптическую силу сферических зеркал, в диоптриях (дптр). Оптической силой в 1 дптр обладает линза с фокусным расстоянием 1 м.

или (10)

При пользовании формулой (10) знак перед членами ставится по тому же принципу, как и в случае сферического зеркала. Если линза собирающая, то ее фокус действительный и перед членом ставится знак плюс.

В случае рассеивающей линзы перед этим членом ставится знак минус. Перед членом ставится знак плюс, если изображение действительное, и знак минус — в случае мнимого изображения.

В том случае, когда F или f неизвестны, перед членами или ставится знак плюс. Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния до изображения получается отрицательная величина, то это означает, что фокус или изображение является мнимым.