Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки

Задача №1. Построение правильного шестиугольника и треугольника.

Согласно формуле аn= 2R*sin180°/n сторона АВ правильного шестиугольника равна радиусу R описанной окружности. Поэтому, если задан произвольный отрезок PQ, то для построения правильного шестиугольника, стороны которого равны PQ, достаточно построить окружность радиуса PQ, взять на ней произвольную точку А и, не меняя раствора циркуля, отметить на этой окружности последовательно точки B, C, D, E, F так, чтобы AB=BC=…=EF=PQ. Проведя затем отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FA, получим шестиугольник ABCDEF, который согласно теореме о правильном многоугольнике является правильным, причем его стороны равны отрезку PQ.

Для того, чтобы построить правильный треугольник нужно соединить точки данного шестиугольника через одну, значит соединим точки A,C и E. Треугольник ACE- искомый.

Задача №2. Построение правильного четырехугольника и восьмиугольника.

Пусть w-данная окружность с центром в точки О и радиусом R. Через точку О проведем диаметр АС и к этому диаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D.Теперь последовательно соединим точки A,B,C и D. ABCD-искомый квадрат.

Для того, чтобы построить правильный восьмиугольник нужно сначала построить правильный четырехугольник, например, А1А3А5А7-квадрат, потом построить биссектрисы углов А1OА3, А3OА5, А5OА7, А7OА1, которые прересекут окружность в точках А2, А4, А6, А8 соответственно, затем последовательно соединить точки А1,А2,А3,А4,А5,А6,А7,А8. А1А2...А8-искомый восьмиугольник.

Задача №3. Найти углы правильного десятиугольника и выразить его сторону через радиус R описанной окружности.

Решение. По формуле аn=(n-2)/n*180° находим угол а10 правильного десятиугольника: а10=(10-2)/10*180°= 144°.

Пусть АВ- сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R с центром в точке О. По формуле аn= 2R*sin180°/n АВ=2R*sin18°. Получим другое выражение для стороны АВ. С этой целью рассмотрим треугольник АВО и проведем его биссектрису АС. Так как угол АОВ= 360°/10= 36°, то угол ОАВ= (180°-36°)/2= 72°, угол ВАС= 1/2*угол ОАВ= 1/2*72°= 36°.

Отсюда следует, что треугольник АОВ~ треугольнику САВ по двум углам (угол АОВ=угол ВАС= 36°, угол В-общий). Поэтому АВ=АС и АВ/ОВ= ВС/АВ. Далее, треугольник АОС равнобедренный (угол АОС= угол ОАС= 36°), следовательно, АС=ОС.

Итак, АВ=АС=ОС=R-BC, откуда ВС=R-АВ, и пропорцию АВ/ОВ=ВС/АВ можно записать в виде АВ/R=(R-AB)/AB. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно АВ:

Замечание. Сравнивая полученное выражение для АВ с равенством АВ=2R*sin18°, находим значение sin18°: sin18°= (корень из5-1)/4.

Задача 4. Построение правильного десятиугольника и пятиугольника.

Пусть w- данная окружность радиуса R c центром О. Построим сначала правильный десятиугольник, вписанный в окружность w. Для этого проведем взаимно перпендикулярные радиусы ОА1 и ОВ окружности w и на отрезке ОВ как на диаметре построим окружность с центром С. Отрезок А1С пересекает эту окружность в некоторой точке D. Докажем, что отрезок А1D равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность w. В самом деле, А1D=А1С-R/2, А1С= корень суммы А1О^2+OC^2= корень суммы R^2+ R^2/4= ((корень из 5)/2)*R, поэтому А1D= ((корень из 5-1)/2)*R. Далее отметим на окружности w точки А2, А3, … , А10 так, что А1А2= А2А3=… =А9А10 = А1D. Десятиугольник А1А2…А10-искомый.

Для того, чтобы построить правильный пятиугольник нужно соединить точки данного десятиугольника через одну, значит соединим точки А1,А3,А5,А7,А9. Пятиугольник А1А3А5А7А9- искомый.

Задача 5. В данную окружность вписать правильный пятнадцатиугольник.

Решение. Пусть w- данная окружность радиуса R с центром O и АВ - сторона правильного вписанного в эту окружность десятиугольника, а АС- сторона правильного вписанного шестиугольника, причем точки В и С расположены на окружности так, как показано на рисунке а). Тогда, очевидно, дуга АВ=36°, дуга АС=60° , поэтому дуга ВС=24° . Следовательно, угол ВОС=24°=360°/15°, и, значит, отрезок ВС- сторона правильного пятнадцатиугольника, вписанного в окружность w. Так как мы умеем строить циркулем и линейкой отрезки АВ=((корень из 5-1)/2)*R и АС=R (рис.б)), то можем построить отрезок ВС.

Возьмем далее на окружности w произвольную точку А1 и, пользуясь циркулем, отметим на этой окружности последовательно точки А2, А3,…, А15 так, что А1А2 = А2А3=…= А14А15= ВС. Проведя затем отрезки А1А2, А2А3,…, А14А15, А15А1, получим искомый правильный пятнадцатиугольник А1А2…А15 (рис. в)).

Задача №6. Дан правильный n-угольник А1А2...Аn, вписанный в окружность с центром О. Построить n-угольник, сторона которого равна данному отрезку PQ.

Решение. Проведем лучи ОА1, ОА2,..., ОАn и на этих лучах построим вершины искомого n-угольника. Для этого на луче А2А1 отложим отрезок А2С, равный отрезку PQ, и через точку С проведем прямую, параллельную прямой ОА2 (на рисунке n=8). Точку пересечения этой прямой с лучом ОА1 обозначим В1. Проведем теперь окружность с центром О радиуса ОВ1 и обозначим через В2, В3,..., Вn точки пересечения этой окружности с лучами ОА2, ОА3,..., ОАn. Построим, наконец, отрезки В1В2, В2В3,..., ВnВ1. Получим искомый правильный n-угольник В1В2...Вn.

НАЗАД