Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:"Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J.
Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник."
Один из таких практических методов, позволяющий построить правильный вписанный в окружность многоугольник с любым числом сторон известен как приём Биона(рис.1).
Пусть дана окружность и АВ - её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.(На рис.1 приведено построение стороны правильного семиугольника.) При n=5,7,9,10 погрешность построения не привышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.
Среди различных подходов к построению правильных многоугольников выделяется задача на построение правильного многоугольника по данной стороне. Ещё в XV в. великий художник Леонардо да Винчи (1452-1519), занимаясь такими построениями, установил соотношение между стороной многоугольника и апофемой:
аn/2 : ha =3/n-1(рис.2), которое можно выразить так: tg180°/n =3/n-1.
‚ 1888 г. в журнале " Вестник опытной физики и элементарной математики" появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне (рис.3).
Пусть АВ- сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равносторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр CD на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ на 6 равных частей и такие откладываем на СD по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что, например, А7 - радиус окружности, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ.
Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение даёт точный результат. Докажем, что для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью. Пусть величина центрального угла ANB некоторого n-угольника равна х. Обозначим АВ через а. Тогда
(Сравните с результатом Леонардо да Винчи.)
Рассмотрим пример. Так, при n=7 tg x/2 =3/6,19615. Тогда х/2= 25°50'6'' и х= 51°40'12'', а центральный угол для правильного семиугольника равен 51°25'43''.
Погрешность составляет:
Приближённые способы построения правильных многоугольников просты и удобны на практике, красивы и орнаментaльны.