Сага третья:
VIII постулат Эвклида о простых.
Если взять некоторое простое число, например 2, то последовательное удвоение приводит к последовательности 2,4,8,... Ни у одного из этих чисел не появилось новых простых делителей - и не появится. Этому можно удивляться(?), сомневались до сих пор немногие (два тысячелетия!). Два тысячелетия казался незыблемым закон сохранения Евклида:
"Никакая степень простого не может иметь других простых делителей".

Вроде яснее ясного.
Утверждая, что степень не может приобрести новый простой делитель, постулат ничего не говорит о том, что степень может потерять свой последний простой делитель, и сама оказаться 'простой'!
Такой возможности Евклид, видимо, не видел. (У Ферма были догадки).
Широкая современная практика, пока не вполне осознанная, использующая групповые множества, графы, автоматы - приводит именно к таким - неевклидовым арифметикам. Это и составляет предмет этой саги ...

Возможность складывать и умножать ещё не характеризует полноценную арифметику. Полноценную арифметику характеризует возможность строить степени:

A^B+C = A^B.A^C и (A^B)^C = A^BC = (A^C)^B

Оказывается, такие степени существуют не только в евклидовой арифметике - натуральных чисел, такими же свойствами обладают и логические импликации:
A=>(B+C)=A=>BA=>C и A=>(BC)=(A=>B)=>C=(A=>C)=>B
На самом деле, таких арифметик очень много, но ниже мы подробно остановимся на арифметике групповых множеств конечной группы G.

Рассмотрим циклическую группу C₂ 2-го порядка. Проще всего, видимо, её представляет сложение натуральных чисел по модулю 2. Каждое C₂-множество X имеет вид:

X = x₁ + x₂C₂,

Для каждого C₂-множества X заданы два представления: (1,X)=x₁ и (C₂,X)=x₁+2x₂ Для равенства X = Y необходимо и достаточно равенства обоих представлений (1,X)=(1,Y) и (C₂,X)=(C₂,Y). Главное состоит в том, что C₂-множества - являются простейшим примером существования степеней, и степеней - неевклидовых!
Вычисляя представления (1,C₂^C2)=(C₂,C₂)=2 и (C₂,C₂^C2)=(2C₂,C₂)=4, получаем

C₂^C2 = 2^C2 = 2 + C₂

Именно эта степень 2 утрачивает свой простой делитель - 2 и, по всей логике, обретает титул 'простого', но у кого язык (лучше извилина) повернётся назвать её - простой?

В такой C₂-арифметике, совсем неевклидовой, проблем - хоть отбавляй:
1) Возможно деление без частных.
Например: циклическая группа C₄ делится своей орбитой C₄/C₂ без частного.
2) Не всегда дозволено сокращать общий множитель: AxC=BxC не всегда влечёт A=B.
( Сокращать можно только множители, содержащие все орбиты U: (U,C)>0.)
3) Нет единственности разложения на простые.
Например: C₂-множество 3+16C₂ имеет представления: (1,3+16C₂) = 3, (C₂,3+16C₂) = 35 = 5*7.
Два разных сочетания этих множителей дают и два различных разложения в произведение простых: 3+16C₂ = (3+C₂)*(1+3C₂) = (3+2C₂)*(1+2C₂).
Приведённый пример доказыввает большее:
VIII постулат Еклида логически не зависит от остальных аксиом!
Жаль, но мимо этого прошли и Архимед, и Птолемей, и Валлис, и Лежандр, и современный Коуэн, а известному поэту Омару Хайяму водки не хватило. Никакой борьбы идей - всё даром! Однако, отсюда весь мир вырастет...

Кольца, в которых нет единственного разложения на простые, давно известны в математике. Леонард Эйлер, доказывая Великую теорему Ферма, изучал арифметику чисел вида a+b?-3. В этом кольце единственность разложения на простые удалось спасти, пополнив кольцо 'дивизорами'. В арифметике G-множеств ситуация оказывается иной: - единственная возможность спасти основную теорему арифметики состоит в следующем:
Утверждение (о мультипликативном тождестве)
Для каждого C₂-множества X, содержащего обе орбиты - (1,X)>0 (C₂,X)>0, справедливо тождество:

X = (1,X)^2-C2.(C₂,X)^C2-1

Действительно, (1,(1,X)^2-C2.(C₂,X)^C2-1) = (1,X)²/(1,X).(C₂,X)/(C₂,X) = (1,X) и
(C₂,(1,X)^2-C2.(C₂,X)^C2-1) = (1,X)²/(1,X)².(C₂,X)²/(C₂,X) = (C₂,X).
Главная теорема неевклидовой арифметики ждёт своих 'реаниматоров'!

Теперь становится понятным, в чём состояло 'озарение Ферма'. Для простого p и циклической группы C_p и существование степени N^Cp известно уже 300 лет, как:
Малая теорема Ферма

Для простого p и всякого натурального N - N^p = N (mod p)

Действительно, каждое C_p-множество содержит только 1 и C_p орбиты, существование степени требует, чтобы представления (C_p,N^Cp) = N^p и (1,N^Cp) = N отличались на кратное порядку (C_p,C_p)=p, что и утверждает 'Малая теорема Ферма'!

.

Великая проблема Ферма похоронена безвозвратно - натуральных решений для показателей больше 2 нет совсем и не будет. Однако уравнение Ферма осталось, и как оказывается, в неевклидовых арифметиках вполне 'решабельно'. Простейшей средой, в которой существуют невырожденные решения, являются C₄-множества. Они отличаются от натуральных чисел, всего двумя образующими.
Вообще групп, в которых решается уравнение Ферма, не так много. Как следует из классической проблемы Ферма показатель N должен иметь второй порядок:

(G,X^N) + (G,Y^N) = (G,Z^N)
(G,X)^(G,N) + (G,Y)^(G,N) = (G,Z)^(G,N)

тем самым группа G содержит подгруппу H индекса 2, такую что N=G/H. По теореме Лагранжа эта подгруппа нормальна.

Показатель N является делителем группы G, однако деление G на N не должно приводить ни к какому частному. В противном случае G=NxM система

(M,X^N)+(M,Y^N)=(M,Z^N)
(G,X^N)+(G,Y^N)=(G,Z^N)
равносильна
(G,X) + (G,Y) = (G,Z)
(G,X)²+ (G,Y)²= (G,Z)²

и одно из слагаемых вырождается. Отсутствие частного M равносильно тому, что H содержит все(!) циклические C₂-подгруппы.
Последнее условие исключает
1) циклические группы C₆,C₁₀ и т.д.
2) знакопеременные группы A₄,A₅ и т.д.
3) симметрические группы S₃,S₄ и т.д.

Для циклической группы C₄ первые решения определяют равенства:

6^U2+ (2C₄)^U2 = (6+C₄)^U2= 6 + 15U₂ + 16C₄
5^U2+ (3C₄)^U2= (5+2C₄)^U2= 5 + 10U₂ + 36C₄

Общие решения имеют вид:

X^U2+(abC₄)^U2= (X+aC₄)^U2 и любых X: (C₄,X)=2a(b²-1)
X^U2+(abC₄)^U2= (X+2aC₄)^U2 и любых X: (C₄,X)= a(b²-4)

Для группы кватернионов Q общие решения имеют вид:

(X+aQ)^N+(bcQ)^N= (X+(a+c)Q)^N

для любых натуральных a,b,c: cb²>2a+c и любого Q-множества X: (Q,X)= 16(cb²-2a-c).