Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полиграммами, по аналогии с пентаграммой - правильной пятиконечной звездой (изображена внутри правильного пятиугольника на рис.2).
Любой правильный многоугольник, выпуклый или звездчатый, можно наложить сам на себя так, чтобы одна из двух произвольно заданных сторон совпала с другой; то же верно для любых двух его вершин. И обратно: многоугольник, обладающий обоими этими свойствами, правильный. Но существуют неправильные многоугольники, у которых такое свойство справедливо только для сторон, как у ромба, или только для вершин, как у прямоугольника.
Имеется 2n способов совместить правильный n-угольник сам с собой: половина из них - повороты вокруг одной и той же точки, его центра, на углы, кратные360°/ n, вторая половина - n симметрий относительно прямых, соединяющих центр с вершинами и серединами сторон. Центр правильного многоугольника равноудален от всех его сторон и от всех вершин, поэтому он служит одновременно центром вписанной и описанной окружностей многоугольника (рис.3 ).
Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом
Архимед.Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В "Началах"
Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27'). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия.Теорема. Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным.
Доказательство. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn, вписанный в окружность с центром О. Докажем сначала, что этот многоугольник выпуклый. Для этого нужно доказать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону многоугольника. Докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой А1А2. Для этого достаточно убедиться в том, что вершины А3А4,…, Аn принадлежат одной и той же полуплоскости с границей А1А2. Рассмотрим полуплоскость с границей А1А2, в которой лежит точка А3. Точка А4 принадлежит этой же полуплоскости, так как в противном случае прямая А1А2 пересекает дугу А3А4 окружности и, следовательно, имеет с окружностью больше двух точек, что невозможно. Точно так же вершина А5 и все остальные вершины принадлежат этой же полуплоскости. Аналогично доказывается, что многоугольник лежит по одну сторону от каждой из этих прямых А2А3 ,…, АnА1.
Пусть все стороны вписанного многоугольника равны: А1А2 = А3А4 =…= Аn-1Аn = АnА1. Докажем, что углы многоугольника также равны: угол А1= угол А2=…=угол Аn. Если n=3, то это утверждение очевидно. Допустим, что n >3, и рассмотрим вершины Аn, А1, А2, А3 (рис.4).
Треугольники ОАnА1, ОА1А2, ОА2А3 равны друг другу по трем сторонам, а так как эти треугольники равнобедренные, то угол1= угол 2=угол 3= угол 4. Поэтому угол А1= угол1+угол 2= угол 3+ угол 4= угол А2. Точно также доказывается равенство других углов многоугольника. Следовательно, многоугольник А1А2…Аn правильный.
Используя эту теорему, докажем следующее утверждение: каково бы ни было число n, больше двух, существует правильный n-угольник.
Возьмем какую-нибудь окружность с центром в точке О и разделим её на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (рис.5, на этом рисунке n=8).
Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними), поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда согласно доказанной теореме следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.
В пространстве фигурой, аналогичной правильному многоугольнику, является правильный многогранник- выпуклый многогранник, у которого все грани- правильные равные друг другу многоугольники и к каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Интересно отметить, что в отличие от правильных многоугольников, которые могут иметь любое (больше двух) число сторон, существует лишь конечное число различных типов правильных многогранников. Ещё Евклид доказал, что таких типов только пять: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр), двадцатигранник (икосаэдр).